Introdução

Este trabalho trata dos conteúdos estudados na área das ciências exatas, na disciplina de matemática, no segundo ano do ensino médio integrado em informática. O portfólio está particionado em conteúdos, bem como o de trigonometria, geometria plana, geometria espacial e modelagem matemática. Exporemos nele, também, alguns trabalhos que mais gostamos de fazer durante o ano e alguns exercícios que achamos interessantes, tais como os exercícios do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), e a correção da última prova, que também continha questões do ENEM.

Nas férias...

Nas férias, fizemos uma lista de exercícios revisando o conteúdo aprendido no ano de 2011.

Questão 1) Numa pesquisa foram entrevistado 800 pessoas para saber se gostam de estudar ou de calcular. 20% dos entrevistados gostam de ler e de calcular, 400 gostam de ler, 5% não gostam de nada. Quantos entrevistados gostam de calcular?

Essa eu fiz por teoria de conjuntos.

No conjunto A, que seriam as pessoas que gostam somente de ler, coloquei 240 pessoas.

No conjunto B, que seriam as que gostam somente de calcular, coloquei x pessoas.

E o conjunto C, que seriam as pessoas que gostam de fazer as duas coisas, 160.

Tendo no conjunto D, 40 pessoas que não gostam de nenhuma das duas coisas.

Após isso, ficaria: 240+160+40+x=800

                             x=800-40-160-240

                             x=360

Portanto, o conjunto B seria completo por 360 pessoas. 

Como pergunta quantas pessoas gostam de calcular, e não somente de calcular, seriam 520 pessoas ao todo.

Questão 2) Dados os números: -2; 25; 3/2; 1,45; pi ; -1; 2; ³8; -456,2; 3,121212...; 4,5467...; 45; -7/4.
Classifique os números nos conjuntos: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, e Reais.

Naturais: 25; 2; 45

Inteiros: -2; -1; ^-38

Racionais: 3/2; 1,45; 456,2; -7/4

Irracionais: Pi; 3,121212...

Reais: Todos



Questão 3) Foram distribuídas 35 atividades entre 2 colegas de aula. Um dos colegas fez o dobro do outro menos uma atividades. Determine quantas atividades cada colega fez.

2x-1+x=35

3x=36

x=36/6

x=12

Um dos colegas fez 23 exercícios e o outro 12.

Questão 4) Dada uma cartolina de 40 cm por 50 cm. Deseja-se construir uma caixa aberta com altura x cm, através de recortes de x cm em cada canto da cartolina. Após realizar os recortes e montar a caixa aberta, determine:
a) o desenho que representa a caixa partindo da cartolina;

b) a função que expressa a área total da caixa;

A=(40-2x)(50-2x)

4x²-260x-2000

X₁=43,8     X₂= 1,1

c) a função encontrada na letra b é polinomial ou não? Se for polinomial qual seu grau? É uma função polinomial do segundo grau.

d) o domínio da função determinada da letra b.

Questão 5) Resolva a equação 3 ^2x – 8. 3^x = 9 e determine o valor numérico da expressão 3.(x³ – 1) . (x +4)².

3^2x-8.3^x=9

3^2x-8.3^x=3³

2x-8.x=3

2x²-8x=3

2x²-8x-3=0

~ Báskara~

x₁= 4,3     x₂= -0,3

O resto eu não consegui fazer D:

Questão 6) O gráfico abaixo expressa em azul uma função que determina o valor gasto para se divertir num parque de diversões, sendo x o número de brinquedos andados. E em vermelho uma função que determina o lucro ganho a cada x unidades vendidas de um certo produto.
Observe o gráfico ao lado e responda as questões:
a) As funções são polinomiais? Se sim são de que grau? Sim, a vermelha primeiro e a azul segundo grau.
b) Determine a lei de formação de cada uma das funções.
c) Qual o domínio de cada função?
d) As funções se encontram em algum momento no gráfico? Onde? Sim, elas se encontram no ponto (-4; 0)

OBS: O Lucas Mesquita também nos ajudou.

Resenhas dos livros sobre matemática...

Durante as férias de 2011 para 2012, lemos um livro que continha matemática, sugerido pela professora Aline Silva de Bona. Havia uma lista de sugestões, e dentre os livros sugeridos, uma de nós escolheu "O Diabo dos Números" e a outra "O Homem que Calculava".
Abaixo os links das resenhas:

O Diabo dos Números: http://carolinadadda.pbworks.com/w/page/52335236/Resenha%20do%20livro%3A%20O%20diabo%20dos%20n%C3%BAmeros

O Homem que Calculava: http://giulliaperes.pbworks.com/w/file/52374078/O%20homem%20que%20calculava-%20Malba%20Tahan(1).pdf

1. Trigonometria

Trigonometria é o estudo dos três ângulos de um triângulo. Através dela podemos, então, medir seus lados, ângulos, etc., não precisando de muitas informações para fazê-lo. Por exemplo, para descobrirmos o ângulo do triângulo, precisamos saber somente o tamanho de seus catetos e, para descobrirmos seus lados, precisamos saber somente um de seus lados e o ângulo, ou dois de seus lados, usando tio Pit (vulgo Pitágoras). Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônicos, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco, considerado pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados. Hoje em dia, a trigonometria não é utilizada apenas para o estudo dos triângulos. Ela é utilizada, também, para outras coisas, até mesmo fora da área de matemática. “Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico podem ser modelados com o auxílio de funções trigonométricas, daí a enorme aplicação do estudo desse conteúdo em campos da ciência como acústica, astronomia, economia, engenharia, medicina, entre outras." Na área da medicina, a matemática pode, através da trigonometria, modelar a pressão arterial de um paciente. Um gráfico é capaz, por exemplo, de ser uma ferramenta importante para o médico, uma vez que permite fazer uma análise do estado de saúde do paciente. A trigonometria pode, também, ser útil para medir ondas marítimas e distâncias que não poderiam ser percorridas por um ser humano, como a altura de uma montanha, de torres e árvores e, também, a largura de um rio. Sendo, assim, aplicada na área de geografia.

1.1 O que é ângulo?

Ângulo e uma região formada a partir de duas semirretas, que saem de um mesmo ponto, chamado vértice do ângulo. São medidos em radianos ou graus. Em uma circunferência inteira, o ângulo sempre sera 360º. Quando for meia circunferência, 180º, e assim por diante. Cada ângulo possui um seno, cosseno e tangente.

1.1.1 Como se mede um ângulo?

Para medirmos os ângulos, marcamos o raio e desenhamos um semicírculo junto ao mesmo. O arco será igual ao raio, sendo medido com o mesmo tamanho na volta da circunferência. O ângulo é medido, então, dividindo-se o arco pelo raio e multiplicando pelo K, que seria a variável de graus ou radianos. Independentemente do tamanho do círculo, o ângulo vai ser sempre o mesmo, pois a medida que o raio aumenta, o arco aumentará proporcionalmente.  

1.1.2 O que é um radiano e um ângulo de 90º?

Radiano é a razão entre o comprimento do arco e seu raio. Ou seja, é um arco definido pelo tamanho do raio, medido na circunferência. 

O radiano é usado para diferenciar as quantidades de coisas diferentes, como a velocidade angular, por exemplo.

E o ângulo de 90º é um ângulo reto. Um canto. ¼ de volta de uma circunferência.

1.1.3 O que é uma medida?

É um comprimento. Uma área. Um volume.

“Em matemática, é uma noção envolvida com o que se poderia chamar de "tamanho" de um conjunto, estruturado ou não;”

1.1.4 Como se mede comprimento?

Comprimento é uma distância entre dois pontos. Pode ser, também, a altura de alguma coisa. O comprimento é uma medida de uma só dimensão, enquanto a área é uma medida de duas dimensões.

Existem várias unidades de medida para comprimentos. Entre elas estão: milímetro, centímetro, metro, quilômetro, etc.

1.2 Triângulos

Medidas        

- escaleno: três lados diferentes

- equilátero: três lados iguais

- isósceles:  dois lados iguais

 Ângulo   

- acutângulo: 90° menor 

- obtusângulo: 90° maior

- retângulo: 90°

1.2.1 Semelhança de Triângulos

Exemplos:

sen 32° = x/20     ou  tio "pit"                                 

o,53 = x/20                                                                            

0,53 . 20=x                                      

10,6 = x                                 

                                                     

                                                     

20²= 10,6² + y² 

400 = 112, 36 + y² 

400 - 112,36 = y²

287,64 = y²

y= √ 287,64

y= 16,96 cm

OBS: h = altura: MENOR DISTÂNCIA ENTRE O VÉRTICE E A BASE.

1.3 Funções trigonométricas

Seno, Cosseno e Tangente

Seno é uma função trigonométrica. Em um triângulo retângulo, é a razão entre o cateto oposto ao ângulo que está sendo utilizado e a hipotenusa, que é o maior lado do triângulo e oposto ao ângulo de 90º.

Cosseno é outra função trigonométrica. Dado pela razão entre o cateto adjacente ao ângulo que está sendo calculado e a hipotenusa.

Por fim, a Tangente, que é uma terceira função trigonométrica, e é feita a partir da razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ou, simplesmente, a razão entre o seno e o cosseno.

Seno

Cosseno

Tangente

Tabela das Funções Trigonométricas

Amplitude: 1 +1 = 2

Período: 360° = 2pi rad

Medida: y = sen x

             y= cos x

Música que sempre nos ajuda nas provas na hora de saber seno e cosseno dos ângulos de 30º, 45º e 60º:

Todo mundo 1,2,3

1, 2, 3,

todo mundo na raiz

na raiz 

todo mundo sobre dois

todo mundo sobre dois

todo mundo sobre dois

COSSENO, COSSENO!!!!!!

Todo mundo 3,2,1

3,2,1

todo mundo na raiz

Na raiz

todo mundo sobre dois

todo mundo sobre dois

todo mundo sobre dois

Obs: Devemos essa para o nosso ex professor de física, Terrimar!

1.4 Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras (ou Tio Pit, para nós!) é usado, na trigonometria, para calcular os lados do triângulo. 

Se temos dois lados do triângulo, através dele achamos o terceiro.

H²=L²+L²

Onde: H é a hipotenusa, ou seja, maior lado do triângulo. L são os catetos do triângulo.

1.5 Exemplos de exercícios de Trigonometria

Primeiro exemplo:

Resolução: 

Sen35º=3,4/6

Sen35= 0,56

Cos 35º= 5/6

Cos 35º= 0,83

Tg 35º= 3,4/5

Tg 35º= 0,68

Segundo exemplo:

 A escada de um carro de bombeiros pode-se estender a um comprimento de 30 m, quando levantada a um ângulo de 70°. Sabe-se que a base da escada está sobre um caminha, a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá alcançar em relação ao solo? (use: sen 70° = 0,94; cos 70°= 0,34; tg 70°= 2,75)

Resolução:

cos 70º= x/30

0,342=x/30

0,342*30=x

x= 10,26

h²= ca²+co²

30²=10,26²+x²

900= 105,26+x²

900-105,26=x²

x²= 794,74

x=√794,74

x≈ 28,19

h= 28,19+2 

h= 30,19

Terceiro exemplo:

 Após o trabalho, Carolina foi de carro ao supermercado (ponto a). Ao sair, ela percebeu que o nível de combustível de seu carro estava muito baixo. Ela optou em antes passar no posto que fica na esquina de duas avenidas (ponto b) para depois ir para casa (ponto c). Observando o esquema abaixo e sabendo que pela avenida AC o percurso tem 18 km, quantos quilômetros Carol percorreu a mais indo pelas avenidas AB e BC? (Faça sqtr  3 = 1,7)

Resolução:

cos 30º= x/18

0,866= x/18

0,866*18= x

x= 15,588 km

sen 30º= y/18

0,5= y/18

0,5*18=y

y= 9 km

x+y= 15,588+9

x+y= 24,588

24,588-18= 6,588 km

Quarto exemplo:

Resolução:

Sen 60º= (l√3)/3/l= (l√3)/2 * 1/l= (l√3)/2l = √3/2

Cos 60º= l/2/l= l/2 * 1/l= l/2l= ½

Tg 60º= ((l√3)/2)/l/2 = (l√3)/2 * 2/l= (2l√3)/2l = √3

Quinto exemplo:

Resolução:

Sen B= 6/10= 0,6

Cos B= 8/10= 0,8

Tg B= 6/8=3/4= 0,75

Ângulo = 37º

2. Geometria

A Geometria estuda o espaço e as figuras que podem ocupar um determinado espaço. Pode ser plana, onde não tem volume. Ou espacial, que tem volume, “rotação” e “translação”. É regular, onde a angulação das bases com as faces laterais é 90º. A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

PLANA:  2D.: PLANIFICADA.: NÃO TEM VOLUME.: PROPRIEDADE FIXA.

ESPACIAL:  3D.: ESPAÇO.: VOLUME .: TEM ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO.

Regular: a angulação da base com as faces é 90° 

figura ->  Plana

sólido -> Espacial

As formas mais conhecidas da geometria são: círculo, quadrado, triângulo, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio, hexágono, etc.

A geometria espacial, é como se fosse uma “complementação” da geometria plana. A geometria plana começou a ser estudada na Grécia antiga. Os princípios que levaram ao estudo da Geometria são os de ponto, reta e plano.

2.1 Geometria Plana

Cálculo da Área do Triângulo

A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

Área= b.h/2

No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Área= L2/4 rqts3

 Cálculo da Área do Paralelogramo

Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:

Área= b.h

 Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.

Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.

Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.

Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos: 

Área= d1/2 . d2/2 /2 . 4

 Cálculo da Área do Quadrado

O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.

Área=l2

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango.

Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:

Área=d2/2

Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Área=b.h

 Cálculo da Área do Círculo

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:

Área= pi . r2

 Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:

Área = pi (R2 - r2)

Polígonos regulares

Um polígono é regular quando os seus lados são congruentes, e os ângulos internos também são congruentes. 

Conceito de inscrito e circunscrito:

Nessa imagem, o círculo está inscrito no quadrado. Portanto, o quadrado está circunscrito no círculo.

Se fosse ao contrário, o quadrado estaria inscrito no círculo. Portanto, o círculo estaria circunscrito no quadrado.

Formulário:

1- Hexágono regular inscrito: r=l

2- Triângulo inscrito: Lt= 3/2 r

3- Quadrado inscrito: l=r√2

4- Retângulo inscrito no círculo: D=2r

5- Círculo inscrito no quadrado: L=2r

6- Área do triângulo equilátero: (L²√3)/4

7- Teorema de Pitágoras (Nosso amigo, Tio Pit!)

8- Área do triângulo retângulo: (Ca*Co)/2

Perímetros

Os perímetros das figuras, no geral, são feitos através da soma de todos os lados das mesmas. Exemplo: Se é um quadrado, somam-se as medidas dos quatro lados. Já se for um hexágono, são somados os seis lados.

Salvo o perímetro de uma circunferência. Este, é calculado 

através da fórmula: 

Perímetro= 2Pi*r